f(x,y) to calculate the double integral (antiderivative).^ for powers, * optional). This computes indefinite integrals (antiderivatives), step-by-step.Double Integral Calculator – Maths का असली जादू आसान language में
Arre भाई! Maths में कभी-कभी ऐसे topics आते हैं जिनको देखकर students का दिमाग घूम जाता है 😅। “Integration” सुनते ही लगने लगता है कि बहुत tough है, और जब teacher बोलते हैं – आज हम Double Integral करेंगे – तो तो हालत और भी खराब हो जाती है।
लेकिन सच बोलूँ तो double integral उतना कठिन नहीं है जितना नाम सुनकर लगता है। ये बस integration का अगला level है, जहाँ हम 2 variables (x और y) के ऊपर calculation करते हैं। इससे हम areas, volumes और surface ke niche ka पूरा हिसाब निकाल सकते हैं।
अब problem ये है कि manually solve करने में time लगता है, formula yaad करना पड़ता है और calculation भी लंबी होती है। यहीं पर काम आता है हमारा Double Integral Calculator। ये online tool बस कुछ seconds में complicated se complicated integration solve करके step-by-step result दिखा देता है।
तो चलो भाई, आज हम detail में समझते हैं – Double Integral kya hota hai, kaise solve hota hai, real life में कहाँ काम आता है, aur kaise calculator use karke tum apna time बचा सकते हो।
Double Integral Kya Hai?
Normal integral ek variable ke respect में होता है। जैसे:
एक्यूटली समझें — Single और Double Integration
सबसे पहले simple example — one-variable integral:
Mathematical notation:
\( \int x^2 \, dx \)
सरल भाषा में: अगर आप किसी function \(x^2\) का area/antiderivative निकालना चाहते हैं, तो
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
दो variables — Double Integration (दोहरा समाकलन)
जब function दो variables पर निर्भर करे — जैसे \(x\) और \(y\) — तब हम double integral लेते हैं। इसका सामान्य रूप:
\[ \iint_R f(x,y)\,dx\,dy \]
यहाँ \(R\) वह क्षेत्र (region) है जिस पर आप integrate कर रहे हैं। अक्सर हम इसे iterated integrals की तरह लिखते हैं — पहले एक variable के साथ integrate, फिर दूसरे के साथ। उदहारण के तौर पर:
\[ \iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \int_{y=a}^{b}\left(\int_{x=g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\,dx\right) dy \]
या दुसरे order में:
\[ \iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=c}^{d}\left(\int_{y=h_1(x)}^{h_2(x)} f(x,y)\,dy\right) dx \]
छोटा नोट: integration order switch करने से limits बदल सकते हैं — इसलिए region \(R\) को पहले अच्छी तरह समझ लें।
Step-by-Step Example — Double Integration (एक example)
Function:
\( f(x,y)=x^{2}+3x y^{2}+x y \)
Integrate with respect to \(y\) (treat \(x\) as constant):
- \( \displaystyle \int x^{2}\,dy = x^{2}y \)
- \( \displaystyle \int 3x y^{2}\,dy = 3x\cdot\frac{y^{3}}{3} = x y^{3} \)
- \( \displaystyle \int x y\,dy = x\cdot\frac{y^{2}}{2} = \frac{x y^{2}}{2} \)
Final result:
\[ \int (x^{2}+3xy^{2}+xy)\,dy = x^{2}y + x y^{3} + \frac{x y^{2}}{2} + C \]
नोट: अगर यह part of a double integral है, तो अगला step होगा ऊपर वाली expression को अब \(x\) के respect में integrate करना (या given x-limits के अनुसार evaluate करना)।
Real Life Mein Double Integral Kaha Kaam Aata Hai?
- Area निकालने में – किसी irregular 2D shape का area निकालना।
- Volume निकालने में – किसी 3D solid ke andar का volume निकालना।
- Probability – probability density functions ke calculation में।
- Engineering – fluid mechanics, heat transfer aur signals processing में।
- Economics – production optimization aur cost calculation में।
Double Integral Calculator
Double Integral Calculator – Features
✅ Step-by-step solution deta hai
✅ MathJax rendering ke साथ result show karta hai (beautiful equations)
✅ Time बचाता है (manual calculation की जरूरत नहीं)
✅ Mobile + Desktop friendly
✅ Students, teachers aur researchers ke लिए perfect
FAQs: online Free Double Integral Calculator
Double integral aur single integral me kya difference hai?
Single integral ek variable ke respect me hota hai, double integral do variables ke respect me.
Double integral ka use volume nikalne me kaise hota hai?
किसी 3D object ke under ke volume ko निकालने के लिए function को दो बार integrate किया जाता है।
Kya calculator exam me use ho sakta hai?
Exam me allowed nahi hota, लेकिन preparation aur practice ke liye best hai।
Double integral solve karne ka order matter karta hai kya?
हाँ, order dx-dy ya dy-dx solve करने से intermediate steps अलग होते हैं, पर final answer same होता है।
Engineering students ke liye ye calculator kaisa useful hai?
Fluid dynamics, heat transfer, probability distribution sabme double integral lagta hai। Calculator use karke concept clear होता है aur time बचता है।